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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\title{高中数学第十一章 - 空间向量与立体几何}
\subtitle{第一节 - 空间向量与运算}
\author{人教版}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% 标题页
\begin{frame}
  \titlepage
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% 目录页
%\begin{frame}[allowframebreaks]{Contents}
%  \tableofcontents
%\end{frame}

\begin{frame}{目录}

\begin{itemize}
\item  11.1. 空间向量及其线性运算
\item  11.2. 空间向量的数量积运算
\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{11.1.1. 空间向量及其线性运算}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[allowframebreaks]{11.1. 引言 }

%\section*{第一章 \\ 空间向量与立体几何}

通过“平面向量及其应用”的学习，我们知道，平面内的点、直线可以通过平面向量及其运算来表示，它们之间的平行、垂直、夹角、距离等关系可以通过平面向量运算而得到，从而有关平面图形的问题可以利用平面向量的方法解决。

在“立体几何初步”中，我们用综合几何方法研究了空间几何体的结构特征以及空间点、直线、平面的位置关系。

一个自然的想法是，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量表示空间中点、直线、平面等基本元素，通过空间向量运算解决立体几何问题。

在本章，我们就来研究这些问题。

在本章学习中，我们要注意利用类比的方法理解空间向量的概念、运算、基本定理及其坐标表示，在此过程中体会平面向量与空间向量的共性和差异；

在运用向量的方法研究空间基本图形的位置关系和度量关系的过程中，体会向量方法与综合几何方法的共性和差异；

通过用向量方法解决数学问题和实际问题，感悟向量在研究几何问题中的作用。

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[allowframebreaks]{11.1.1. }

%\section*{1.1 空间向量及其运算}

章前图展示的是一个做滑翔伞运动的场景。

可以想象，在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力，例如绳索的拉力、风力、重力等。

显然，这些力不在同一个平面内。

联想用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量研究滑翔运动呢？

下面我们类比平面向量研究空间向量，先从空间向量的概念和表示开始。


\newpage 

%\subsection*{1.1.1 空间向量及其线性运算}

与平面向量一样，在空间，我们把具有大小和方向的量叫做 \textbf{空间向量} (space vector)，空间向量的大小叫做空间向量的 \textbf{长度} 或 \textbf{模} (modulus)。

空间向量用字母 $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$, $\mathbf{c}$, … 表示。

空间中点的位移、物体运动的速度、物体受到的力等都可以用空间向量表示。


与平面向量一样，空间向量也有有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模。

\newpage

如图 1.1-1 所示，向量 $\mathbf{a}$ 的起点是 $A$，终点是 $B$，则向量 $\mathbf{a}$ 也可以记作 $\overrightarrow{AB}$，其模记为 $|\mathbf{a}|$ 或 $|\overrightarrow{AB}|$。

% \begin{figure}[h]
%     \centering
%     \includegraphics[width=0.5\textwidth]{image_path_1.png}
%     \caption{图 1.1-1}
% \end{figure}

\begin{figure}[h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=1.2, >=stealth]
        % 定义点A和B的位置
        \coordinate (A) at (0,0);
        \coordinate (B) at (2,1);

        % 绘制向量AB
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.2]}, thick] (A) -- (B) node[midway, below] {$a$};

        % 标记点A和B
        \fill[pink] (A) circle (2pt) node[below left] {$A$};
        \fill[pink] (B) circle (2pt) node[above right] {$B$};
    \end{tikzpicture}
    \caption{1.1-1}
    \label{fig:1.1-1}
\end{figure}

\newpage

图 1.1-2 所示的正方体中，过同一个顶点 $O$ 的三条棱上的三条有向线段表示的三个向量为 $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OC}$，它们是不共面的向量，即它们是不同在任何一个平面内的三个向量。

% \begin{figure}[h]
%     \centering
%     \includegraphics[width=0.5\textwidth]{image_path_2.png}
%     \caption{图 1.1-2}
% \end{figure}

\begin{figure}[h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=1.0, >=stealth]
        % 定义点的位置
        \coordinate (O) at (0,0);
        \coordinate (A) at (0,2);
        \coordinate (B) at (2,0);
        \coordinate (C) at (0.5,0.5);
        \coordinate (D) at (0.5,2.5);
        \coordinate (E) at (2.5,0.5);
        \coordinate (F) at (2.5,2.5);
        \coordinate (G) at (2,2);

        % 绘制立方体的边
        \draw[thick] (O) -- (A) -- (G) -- (F) -- (D) -- (A);
        \draw[thick] (O) -- (B) -- (E) -- (F);
        \draw[thick] (B) -- (G);

        \draw[dashed] (O) -- (C);
        \draw[dashed] (C) -- (E);
        \draw[dashed] (C) -- (D);

        % 绘制向量OA、OB和OC
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.2]}, thick, pink] (O) -- (A) node[midway, left] {$a$};
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.2]}, thick, pink] (O) -- (B) node[midway, below] {$b$};
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.2]}, thick, pink] (O) -- (C) node[midway, right] {$c$};

        % 标记点
        \fill[pink] (O) circle (1.5pt) node[below left] {$O$};
        \fill[pink] (A) circle (1.5pt) node[left] {$A$};
        \fill[pink] (B) circle (1.5pt) node[below] {$B$};
        \fill[pink] (C) circle (1.5pt) node[right] {$C$};
    \end{tikzpicture}
    \caption{1.1-2}
    \label{fig:1.1-2}
\end{figure}

\newpage 

与平面向量一样，我们规定，长度为 0 的向量叫做 \textbf{零向量} (zero vector)，记为 $\mathbf{0}$。

当有向线段的起点 $A$ 与终点 $B$ 重合时，$\overrightarrow{AB} = \mathbf{0}$。模为 1 的向量叫做 \textbf{单位向量} (unit vector)。

与向量 $\mathbf{a}$ 长度相等而方向相反的向量，叫做 $\mathbf{a}$ 的 \textbf{相反向量}，记为 $-\mathbf{a}$。


如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做 \textbf{共线向量} (collinear vectors) 或 \textbf{平行向量} (parallel vectors)。

我们规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量 $\mathbf{a}$，都有 $\mathbf{0} \parallel \mathbf{a}$。


方向相同且模相等的向量叫做 \textbf{相等向量} (equal vectors)。


\newpage 

因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量。

空间向量是自由的，所以对于空间中的任意两个非零向量，我们都可以通过平移使它们的起点重合。

因为两条相交直线确定一个平面，所以起点重合的两个不共线向量可以确定一个平面，也就是说，任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量。

\newpage 

如图 1.1-3，已知空间向量 $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$，以任意点 $O$ 为起点，作向量 $\overrightarrow{OA} = \mathbf{a}$, $\overrightarrow{OB} = \mathbf{b}$，我们就可以把它们平移到同一个平面 $\alpha$ 内。

% \begin{figure}[h]
%     \centering
%     \includegraphics[width=0.5\textwidth]{image_path_3.png}
%     \caption{图 1.1-3}
% \end{figure}

\begin{figure}[h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=1.0, >=stealth]


        % 绘制向量a
        \draw[->, thick, blue] (-6,0) -- (-5,2) node[midway, left] {$a$};
        % 绘制向量b
        \draw[->, thick, red] (-5,0) -- (-2,0) node[midway, below] {$b$};


        % 定义点的位置
        \coordinate (O) at (0,0);
        \coordinate (A) at (1,2);
        \coordinate (B) at (3,0);
        \coordinate (C) at (4,2);

        % 绘制平行四边形的边
        \draw[thick] (O) -- (A) -- (C) -- (B) -- (O);

        % 绘制向量a和b
        \draw[->, thick, blue] (O) -- ++(A) node[midway,left] {$\mathbf{a}$};
        \draw[->, thick, red] (O) -- ++(B) node[midway,below] {$\mathbf{b}$};

        % 标记点
        \fill[pink] (O) circle (1.5pt) node[below left] {$O$};
        \fill[pink] (A) circle (1.5pt) node[above right] {$A$};
        \fill[pink] (B) circle (1.5pt) node[below right] {$B$};

    \end{tikzpicture}
    \caption{1.1-3}
    \label{fig:1.1-3}
\end{figure}


\newpage 

数学中，引进一种量后，一个很自然的问题就是要研究它们的运算。

由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，这样任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算。

\newpage

由此，我们把平面向量的线性运算推广到空间，定义空间向量的加法（图 1.1-4-i）、减法（图 1.1-4-ii）以及数乘运算（图 1.1-5）：

\begin{enumerate}
    \item[(1)] $\mathbf{a} + \mathbf{b} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB}$;
    \item[(2)] $\mathbf{a} - \mathbf{b} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{BA}$;
    \item[(3)] 当 $\lambda > 0$ 时，$\lambda \mathbf{a} = \lambda \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{PQ}$; \\
        当 $\lambda < 0$ 时，$\lambda \mathbf{a} = \lambda \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{MN}$; \\
        当 $\lambda = 0$ 时，$\lambda \mathbf{a} = \mathbf{0}$.
\end{enumerate}


% \begin{figure}[h]
%     \centering
%     \includegraphics[width=0.5\textwidth]{image_path_4.png}
%     \caption{图 1.1-4}
% \end{figure}

\begin{figure}[h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=1.5, >=stealth]
        % 定义点的位置
        \coordinate (O) at (0,0);
        \coordinate (A) at (3,0);
        \coordinate (B) at (4,1.5);

        % 绘制平行四边形的边
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick] (O) -- (A) node[midway, below] {$a$};
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick] (A) -- (B) node[midway, right] {$b$};

        % 绘制对角线（向量和）
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick, red] (O) -- (B) node[midway, above left] {$a+b$};

        % 标记点
        \fill[pink] (O) circle (1.0pt) node[below left] {$O$};
        \fill[pink] (A) circle (1.0pt) node[below right] {$A$};
        \fill[pink] (B) circle (1.0pt) node[above right] {$B$};
    \end{tikzpicture}
    \caption{1.1-4-i}
    \label{fig:1.1-4-i}
\end{figure}


\begin{figure}[h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=1.5, >=Stealth, thick]
        % 定义点的位置
        \coordinate (O) at (0,0);
        \coordinate (A) at (3,0);
        \coordinate (B) at (1,1.5);

        % 绘制平行四边形的边
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick] (O) -- (A) node[midway, below] {$a$};
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick] (O) -- (B) node[midway, right] {$b$};

        % 绘制对角线（向量和）
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick, red] (B) -- (A) node[midway, above right] {$a-b$};

        % 标记点
        \fill[pink] (O) circle (1.0pt) node[below left] {$O$};
        \fill[pink] (A) circle (1.0pt) node[below right] {$A$};
        \fill[pink] (B) circle (1.0pt) node[above right] {$B$};
    \end{tikzpicture}
    \caption{1.1-4-ii}
    \label{fig:1.1-4-ii}
\end{figure}


% \begin{figure}[h]
%     \centering
%     \includegraphics[width=0.5\textwidth]{image_path_5.png}
%     \caption{图 1.1-5}
% \end{figure}


\begin{figure}[h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=1.0, >=Stealth, thick]

        % 定义点的位置
        \coordinate (O) at (0,0);
        \coordinate (A) at (1,2);
        \coordinate (P) at (3,0);
        \coordinate (Q) at (5,4);
        \coordinate (N) at (6,0);
        \coordinate (M) at (8,4);

        % 绘制向量a
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick] (O) -- (A) node[midway, above left] {$a$};
        \fill[pink] (O) circle (1.5pt) node[below left] {$O$};
        \fill[pink] (A) circle (1.5pt) node[above right] {$A$};

        % 绘制λa (λ>0)
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick, red] (P) -- (Q) node[midway, below right] {$\lambda a (\lambda > 0)$};
        \fill[pink] (P) circle (1.5pt) node[below left] {$P$};
        \fill[pink] (Q) circle (1.5pt) node[above right] {$Q$};

        % 绘制λa (λ<0)
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick, blue] (M) -- (N) node[midway, below right] {$\lambda a (\lambda < 0)$};
        \fill[pink] (N) circle (1.5pt) node[below left] {$N$};
        \fill[pink] (M) circle (1.5pt) node[below right] {$M$};

    \end{tikzpicture}
    \caption{1.1-5}
    \label{fig:1.1-5}%{fig:vector_scalar_multiplication}
\end{figure}


\newpage

与平面向量一样，空间向量的线性运算满足以下运算律（其中 $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$）：
\begin{itemize}
    \item 交换律：$\mathbf{a} + \mathbf{b} = \mathbf{b} + \mathbf{a}$;
    \item 结合律：$(\mathbf{a} + \mathbf{b}) + \mathbf{c} = \mathbf{a} + (\mathbf{b} + \mathbf{c})$, $\lambda(\mu \mathbf{a}) = (\lambda \mu) \mathbf{a}$;
    \item 分配律：$(\lambda + \mu) \mathbf{a} = \lambda \mathbf{a} + \mu \mathbf{a}$, $\lambda(\mathbf{a} + \mathbf{b}) = \lambda \mathbf{a} + \lambda \mathbf{b}$.
\end{itemize}

\newpage 

\textbf{探究：}
如图 1.1-6，在平行六面体 $ABCD-A'B'C'D'$ 中，分别标出 $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}$, $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{AD}$ 表示的向量。

% \begin{figure}[h]
%     \centering
%     \includegraphics[width=0.5\textwidth]{image_path_6.png}
%     \caption{图 1.1-6}
% \end{figure}

\begin{figure}[h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=0.9, >=stealth]

        % 定义点的位置
        \coordinate (A) at (0,0);
        \coordinate (B) at (4,0);
        \coordinate (C) at (5,1);
        \coordinate (D) at (1,1);
        \coordinate (A') at (1,2);
        \coordinate (B') at (5,2);
        \coordinate (C') at (6,3);
        \coordinate (D') at (2,3);

        % 绘制平行六面体的边
        \draw[thick] (A) -- (B) -- (C);
        \draw[thick] (A') -- (B') -- (C') -- (D') -- (A');
        \draw[thick] (A) -- (A');
        \draw[thick] (B) -- (B');
        \draw[thick] (C) -- (C');
        
        % 绘制虚线部分
        \draw[dashed] (A) -- (D);
        \draw[dashed] (D) -- (D');
        \draw[dashed] (D) -- (C);

        % 绘制三个向量
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick] (A) -- (B);
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, dashed] (A) -- (D);
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick] (A) -- (A');

        % 标记点
        \fill[pink] (A) circle (1.5pt) node[below left] {$A$};
        \fill[pink] (B) circle (1.5pt) node[below right] {$B$};
        \fill[pink] (C) circle (1.5pt) node[below right] {$C$};
        \fill[pink] (D) circle (1.5pt) node[below right] {$D$};
        \fill[pink] (A') circle (1.5pt) node[above left] {$A'$};
        \fill[pink] (B') circle (1.5pt) node[above left] {$B'$};
        \fill[pink] (C') circle (1.5pt) node[above right] {$C'$};
        \fill[pink] (D') circle (1.5pt) node[above left] {$D'$};

    \end{tikzpicture}
    \caption{1.1-6}
    \label{fig:1.1-6}%{fig:vector_addition_laws}
\end{figure}


从中你能体会向量加法运算的交换律和结合律吗？

一般地，三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系？

可以发现，$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}$。

一般地，对于三个不共面的向量 $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$, $\mathbf{c}$，以任意点 $O$ 为起点，$\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$, $\mathbf{c}$ 为邻边作平行六面体，则 $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$, $\mathbf{c}$ 的和等于以 $O$ 为起点的平行六面体对角线所表示的向量。

另外，利用向量加法的交换律和结合律，还可以得到：有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变。


\newpage 

\textbf{探究}

对任意两个空间向量 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$，如果 $\mathbf{a} = \lambda \mathbf{b}$ ($\lambda \in \mathbb{R}$)，$\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 有什么位置关系？

反过来，$\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 有什么位置关系时，$\mathbf{a} = \lambda \mathbf{b}$？


类似于平面向量共线的充要条件，对任意两个空间向量 $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ ($\mathbf{b} \neq \mathbf{0}$)，$\mathbf{a} \parallel \mathbf{b}$ 的充要条件是存在实数 $\lambda$，使
\[ \mathbf{a} = \lambda \mathbf{b}. \]


\newpage 

如图 1.1-7，$O$ 是直线 $\ell$ 上一点，在直线 $\ell$ 上取非零向量 $\mathbf{a}$，则对于直线 $\ell$ 上任意一点 $P$，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数 $\lambda$，使得
\[ \overrightarrow{OP} = \lambda \mathbf{a}. \]

% \begin{figure}[h]
%     \centering
%     \includegraphics[width=0.5\textwidth]{image_path_7.png}
%     \caption{图 1.1-7}
% \end{figure}

\begin{figure}[h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=1.0, >=stealth]

        % 定义点的位置
        % \coordinate (O) at (-2,0);
        % \coordinate (P) at (2,0);
        % \coordinate (A) at (-1,-0.33);
        % \coordinate (B) at (1,0.33);

        % 绘制直线 ell
        \draw[thick] (-3,-1) -- (3,1) node[below, right] {$\ell$};
        
        % 绘制原向量 a
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick, red] (-2,0.5) -- (0,1.166) node[midway, above] {$a$};

        % 平移向量 a 到直线上
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick, red] (-1,-0.333) -- (1,0.333) node[midway, above] {$a$};

        \fill[pink] (2,0.666) circle (1.5pt) node[below left] {$P$};
        \fill[pink] (-1,-0.333) circle (1.5pt) node[below left] {$O$};

    \end{tikzpicture}
    \caption{1.1-7}
    \label{fig:1.1-7}%{fig:vector_parallel_to_line}
\end{figure}

我们把与向量 $\mathbf{a}$ 平行的非零向量称为直线 $\ell$ 的 \textbf{方向向量} (direction vector)。

这样，直线 $\ell$ 上任一点都可以由直线 $\ell$ 上的一点和它的方向向量表示，也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定。


\newpage

如图 1.1-8，如果表示向量 $\mathbf{a}$ 的有向线段 $\overrightarrow{OA}$ 所在的直线 $OA$ 与直线 $\ell$ 平行或重合，那么称向量 $\mathbf{a}$ 平行于直线 $\ell$。

如果直线 $OA$ 平行于平面 $\alpha$ 或在平面 $\alpha$ 内，那么称向量 $\mathbf{a}$ 平行于平面 $\alpha$。

% \begin{figure}[h]
%     \centering
%     \includegraphics[width=0.5\textwidth]{image_path_8.png}
%     \caption{图 1.1-8}
% \end{figure}

\begin{figure}[h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=1.0, >=stealth]

    % 绘制平面 α（平行四边形）
    \coordinate (A) at (-3.5,-2.5);
    \coordinate (D) at (-2.5,-1.5);
    \coordinate (B) at (2.5,-2.5);
    \coordinate (C) at (3.5,-1.5);
    \draw[fill=gray!20] (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
    \node at (3.5,-2) {$\alpha$};        
    % 绘制原向量 a
    \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick, red] (-1,-0.5) -- (1,-0.5) node[midway, above] {$a$};
    % 绘制直线 ell
    \draw[thick] (-2,-1) -- (2,-1) node[below, right] {$\ell$};
    % 绘制平移后的向量 a 在平面上
    \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick, blue] (-1,-2) -- (1,-2) node[midway, above] {$a$};

\end{tikzpicture}
    \caption{1.1-8}
    \label{fig:1.1-8}%{fig:vector_parallel_to_plane}
\end{figure}



平行于同一个平面的向量，叫做 \textbf{共面向量} (coplanar vectors)。


我们知道，任意两个空间向量总是共面的，但三个空间向量既可能是共面的，也可能是不共面的。

那么，什么情况下三个空间向量共面呢？


\newpage 

\textbf{探究}

对平面内任意两个不共线向量 $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$，由{\color{red}平面向量基本定理}可知，这个平面内的任意一个向量 $\mathbf{p}$ 可以写成 $\mathbf{p} = x \mathbf{a} + y \mathbf{b}$，其中 $(x, y)$ 是唯一确定的有序实数对。

对两个不共线的空间向量 $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$，如果 $\mathbf{p} = x \mathbf{a} + y \mathbf{b}$，那么向量 $\mathbf{p}$ 与向量 $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ 有什么位置关系？

反过来，向量 $\mathbf{p}$ 与向量 $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ 有什么位置关系时，$\mathbf{p} = x \mathbf{a} + y \mathbf{b}$？




可以发现，如果两个向量 $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ 不共线，那么向量 $\mathbf{p}$ 与向量 $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对 $(x, y)$，使
\[ \mathbf{p} = x \mathbf{a} + y \mathbf{b}. \]


\newpage 

\textbf{例1.} 如图 1.1-9，已知平行四边形 $ABCD$，过平面 $AC$ 外一点 $O$ 作射线 $OA$, $OB$, $OC$, $OD$，在四条射线上分别取点 $E$, $F$, $G$, $H$，使 $$\frac{OE}{OA} = \frac{OF}{OB} = \frac{OG}{OC} = \frac{OH}{OD} = k. $$

求证：$E$, $F$, $G$, $H$ 四点共面。

% \begin{figure}[h]
%     \centering
%     \includegraphics[width=0.5\textwidth]{image_path_9.png}
%     \caption{图 1.1-9}
% \end{figure}

% 设置观察角度，第一个参数是绕x轴旋转的角度，第二个是绕z轴旋转的角度
\tdplotsetmaincoords{70}{30} 

\begin{figure}[h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=1.0, >=stealth, tdplot_main_coords]

        % 定义坐标系和视角
        \begin{scope}[canvas is xy plane at z=0]
            % 绘制底面平行四边形 EFGH
            \coordinate (E) at (-2,-1);
            \coordinate (F) at (2,-1);
            \coordinate (G) at (2,1);
            \coordinate (H) at (-2,1);
            
            \draw[thick] (E) -- (F) -- (G) -- (H) -- cycle;
            \fill[blue!20, opacity=0.5] (E) -- (F) -- (G) -- (H) -- cycle;
            
            % 标记点
            \fill[blue] (E) circle (1.5pt) node[below right] {$E$};
            \fill[blue] (F) circle (1.5pt) node[below right] {$F$};
            \fill[blue] (G) circle (1.5pt) node[below right] {$G$};
            \fill[blue] (H) circle (1.5pt) node[below right] {$H$};
        \end{scope}

        % 定义顶点 O
        \coordinate (O) at (0,0,4);

        % 绘制棱锥的侧棱
        \draw[thick] (O) -- (E);
        \draw[thick] (O) -- (F);
        \draw[thick] (O) -- (G);
        \draw[thick] (O) -- (H);

        % 绘制中间平行四边形 ABCD
        \begin{scope}[canvas is xy plane at z=1]
            \coordinate (A) at (-1.5,-0.75);
            \coordinate (B) at (1.5,-0.75);
            \coordinate (C) at (1.5,0.75);
            \coordinate (D) at (-1.5,0.75);
            
            \draw[dashed] (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
            \fill[pink!20, opacity=0.5] (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
            
            % 标记点
            \fill[blue] (A) circle (1.5pt) node[above right] {$A$};
            \fill[blue] (B) circle (1.5pt) node[above right] {$B$};
            \fill[blue] (C) circle (1.5pt) node[above right] {$C$};
            \fill[blue] (D) circle (1.5pt) node[above right] {$D$};
        \end{scope}

        % 标记顶点 O
        \fill[blue] (O) circle (1.5pt) node[above] {$O$};

    \end{tikzpicture}
    \caption{1.1-9}
    \label{fig:1.1-9}%{fig:tetrahedron_with_parallelograms}
\end{figure}



\textbf{分析：} 欲证 $E$, $F$, $G$, $H$ 四点共面，只需证明 $\overrightarrow{EH}$, $\overrightarrow{EF}$, $\overrightarrow{EG}$ 共面。

而由已知 $\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ 共面，可以利用向量运算由 $\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ 共面的表达式推得 $\overrightarrow{EH}$, $\overrightarrow{EF}$, $\overrightarrow{EG}$ 共面的表达式。


\textbf{证明：} 因为 $\frac{OE}{OA} = \frac{OF}{OB} = \frac{OG}{OC} = \frac{OH}{OD} = k$，所以
\[ \overrightarrow{OE} = k \overrightarrow{OA}, \quad \overrightarrow{OF} = k \overrightarrow{OB}, \quad \overrightarrow{OG} = k \overrightarrow{OC}, \quad \overrightarrow{OH} = k \overrightarrow{OD}. \]

因为四边形 $ABCD$ 是平行四边形，所以
\[ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}. \]

因此
\begin{align*}
    \overrightarrow{EG} &= \overrightarrow{OG} - \overrightarrow{OE} = k \overrightarrow{OC} - k \overrightarrow{OA} = k \overrightarrow{AC} \\
    &= k (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) = k (\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OA}) \\
    &= \overrightarrow{OF} - \overrightarrow{OE} + \overrightarrow{OH} - \overrightarrow{OE} = \overrightarrow{EF} + \overrightarrow{EH}.
\end{align*}

由向量共面的充要条件可知，$\overrightarrow{EH}$, $\overrightarrow{EF}$, $\overrightarrow{EG}$ 共面，又 $\overrightarrow{EH}$, $\overrightarrow{EF}$, $\overrightarrow{EG}$ 过同一点 $E$，从而 $E$, $F$, $G$, $H$ 四点共面。



%\section*{练习}

\newpage 

\textbf{练习1.} 举出一些表示三个不同在一个平面内的向量的实例。


\newpage 

\textbf{练习2.} 如图，$E$, $F$ 分别是长方体 $ABCD-A'B'C'D'$ 的棱 $AB$, $CD$ 的中点。化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量：
\begin{enumerate}
    \item $\overrightarrow{AA'} - \overrightarrow{CB}$;
    \item $\overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{B'C'}$;
    \item $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{B'D'}$;
    \item $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CF}$.
\end{enumerate}


% 设置观察角度，第一个参数是绕x轴旋转的角度，第二个是绕z轴旋转的角度
\tdplotsetmaincoords{70}{30} 

\begin{figure}[h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=1.3, >=stealth, tdplot_main_coords]

        % 定义坐标系和视角
        \begin{scope}[canvas is xy plane at z=0]
            % 绘制底面平行四边形 EFGH
            \coordinate (A) at (-2,-1);
            \coordinate (B) at (2,-1);
            \coordinate (C) at (2,1);
            \coordinate (D) at (-2,1);
            
            \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
            \fill[blue!20, opacity=0.5] (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
            
            % 标记点
            \fill[blue] (A) circle (1.5pt) node[below right] {$A$};
            \fill[blue] (B) circle (1.5pt) node[below right] {$B$};
            \fill[blue] (C) circle (1.5pt) node[below right] {$C$};
            \fill[blue] (D) circle (1.5pt) node[below right] {$D$};

            % 标记点
            \coordinate (E) at (0,-1);
            \coordinate (F) at (0,1);
            % 标记点
            \fill[red] (E) circle (2pt) node[below right] {$E$};
            \fill[red] (F) circle (2pt) node[below right] {$F$};

        \end{scope}

        % 绘制上面平行四边形 A'B'C'D'
        \begin{scope}[canvas is xy plane at z=2]
            \coordinate (A') at (-2,-1);
            \coordinate (B') at (2,-1);
            \coordinate (C') at (2,1);
            \coordinate (D') at (-2,1);
            
            \draw[dashed] (A') -- (B') -- (C') -- (D') -- cycle;
            \fill[pink!20, opacity=0.5] (A') -- (B') -- (C') -- (D') -- cycle;
            
            % 标记点
            \fill[blue] (A') circle (1.5pt) node[above right] {$A'$};
            \fill[blue] (B') circle (1.5pt) node[above right] {$B'$};
            \fill[blue] (C') circle (1.5pt) node[above right] {$C'$};
            \fill[blue] (D') circle (1.5pt) node[above right] {$D'$};
        \end{scope}

        % 绘制长方体的竖棱
        \draw[thick] (A) -- (A');
        \draw[thick] (B) -- (B');
        \draw[thick] (C) -- (C');
        \draw[dashed] (D) -- (D');

    \end{tikzpicture}
    \caption{1.1-练习2}
    \label{fig:1.1-ex2}
\end{figure}

\newpage 

\textbf{练习3.} 在图 1.1-6 中，用 $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{AA{\,}'}$ 表示 $\overrightarrow{AC{\,}'}$, $\overrightarrow{BD{\,}'}$ 及 $\overrightarrow{DB{\,}'}$。

\begin{figure}[h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=0.9, >=stealth]

        % 定义点的位置
        \coordinate (A) at (0,0);
        \coordinate (B) at (4,0);
        \coordinate (C) at (5,1);
        \coordinate (D) at (1,1);
        \coordinate (A') at (1,2);
        \coordinate (B') at (5,2);
        \coordinate (C') at (6,3);
        \coordinate (D') at (2,3);

        % 绘制平行六面体的边
        \draw[thick] (A) -- (B) -- (C);
        \draw[thick] (A') -- (B') -- (C') -- (D') -- (A');
        \draw[thick] (A) -- (A');
        \draw[thick] (B) -- (B');
        \draw[thick] (C) -- (C');
        
        % 绘制虚线部分
        \draw[dashed] (A) -- (D);
        \draw[dashed] (D) -- (D');
        \draw[dashed] (D) -- (C);

        % 绘制三个向量
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick] (A) -- (B);
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, dashed] (A) -- (D);
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick] (A) -- (A');

        % 标记点
        \fill[blue] (A) circle (1.5pt) node[below left] {$A$};
        \fill[blue] (B) circle (1.5pt) node[below right] {$B$};
        \fill[blue] (C) circle (1.5pt) node[below right] {$C$};
        \fill[blue] (D) circle (1.5pt) node[below right] {$D$};
        \fill[blue] (A') circle (1.5pt) node[above left] {$A'$};
        \fill[blue] (B') circle (1.5pt) node[above left] {$B'$};
        \fill[blue] (C') circle (1.5pt) node[above right] {$C'$};
        \fill[blue] (D') circle (1.5pt) node[above left] {$D'$};

    \end{tikzpicture}
    \caption{1.1-6}
%    \label{fig:1.1-6}%{fig:vector_addition_laws}
\end{figure}




\newpage 

\textbf{练习4.} 如图，已知四面体 $ABCD$，$E$, $F$ 分别是 $BC$, $CD$ 的中点。化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量：
\begin{enumerate}
    \item $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}$;
    \item $\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} (\overrightarrow{BD} + \overrightarrow{BC})$;
    \item $\overrightarrow{AF} - \frac{1}{2} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$.
\end{enumerate}


% \begin{figure}[h]
%     \centering
%     \includegraphics[width=0.5\textwidth]{image_path_4.png}
%     \caption{(第4题)}
% \end{figure}


% 设置观察角度
\tdplotsetmaincoords{60}{30}

\begin{figure}[h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=1.2,tdplot_main_coords]

    % 定义顶点坐标
    \coordinate (A) at (0, 0, 3); % 顶点A位于Oz轴上
    \coordinate (B) at (-2, -1, 0); % 底面顶点B位于Oxy平面上
    \coordinate (C) at (2, -1, 0); % 底面顶点C位于Oxy平面上
    \coordinate (D) at (2, 2, 0); % 底面顶点D位于Oxy平面上
    \coordinate (E) at (0, -1, 0); % 底面顶点D位于Oxy平面上
    \coordinate (F) at (2, 0.5, 0); % 底面顶点D位于Oxy平面上

    % 绘制实线边
    \draw[thick] (A) -- (B);
    \draw[thick] (A) -- (C);
    \draw[thick] (A) -- (D);
    \draw[thick,pink] (A) -- (E);
    \draw[thick,pink] (A) -- (F);
    
    % 绘制底面三角形BCD
    \draw[thick] (B) -- (C) -- (D) -- cycle;

    % 标记顶点
    \fill[black] (A) circle (1pt) node[above] {$A$};
    \fill[black] (B) circle (1pt) node[left] {$B$};
    \fill[black] (C) circle (1pt) node[below right] {$C$};
    \fill[black] (D) circle (1pt) node[right] {$D$};

    % 标记点
    \fill[red] (E) circle (1.5pt) node[below] {$E$};
    \fill[red] (F) circle (1.5pt) node[right] {$F$};

    % 如果需要显示辅助线（例如虚线），可以根据实际需求添加
    % 注意：由于我们是三维绘图，可能需要调整视角或手动指定哪些线条应为虚线以表示遮挡关系

    \end{tikzpicture}
    \caption{1.1-练习4}
\end{figure}



\newpage 

\textbf{练习5.} 如图，已知正方体 $ABCD-A{\,}'B{\,}'C{\,}'D{\,}'$，$E$, $F$ 分别是上底面 $A{\,}'C{\,}'$ 和侧面 $CD{\,}'$ 的中心。求下列各式中 $x$, $y$ 的值：
\begin{enumerate}
    \item $\overrightarrow{AC{\,}'} = x (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC{\,}'})$;
    \item $\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AA{\,}'} + x \overrightarrow{AB} + y \overrightarrow{AD}$;
    \item $\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AD} + x \overrightarrow{AB} + y \overrightarrow{AA{\,}'}$.
\end{enumerate}

% \begin{figure}[h]
%     \centering
%     \includegraphics[width=0.5\textwidth]{image_path_5.png}
%     \caption{(第5题)}
% \end{figure}


% 设置观察角度
\tdplotsetmaincoords{70}{110}

\begin{figure}[h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=1.5,tdplot_main_coords]

    % 定义顶点坐标
    \coordinate (A) at (0, 0, 0); % 底面顶点A位于位于Oxy平面上
    \coordinate (B) at (2, 0, 0); % 底面顶点B位于Oxy平面上
    \coordinate (C) at (2, 2, 0); % 底面顶点C位于Oxy平面上
    \coordinate (D) at (0, 2, 0); % 底面顶点D位于Oxy平面上
    
    \coordinate (A') at (0, 0, 2); % 顶点A'位于位于z=2平面上
    \coordinate (B') at (2, 0, 2); % 顶点B'位于z=2平面上
    \coordinate (C') at (2, 2, 2); % 顶点C'位于z=2平面上
    \coordinate (D') at (0, 2, 2); % 顶点D'位于z=2平面上

    \coordinate (E) at (1, 1, 2); % 顶点E位于
    \coordinate (F) at (1, 2, 1); % 顶点F位于

    % 绘制棱边
    \draw[thick] (B) -- (C) -- (D);
    \draw[thick] (A') -- (B') -- (C') -- (D') -- (A');
    \draw[thick] (B) -- (B');
    \draw[thick] (C) -- (C');
    \draw[thick] (D) -- (D');
    
    \draw[dashed,pink] (A) -- (B);
    \draw[dashed,pink] (A) -- (D);
    \draw[dashed,pink] (A) -- (A');
    
    % 绘制两条关键的线段
    \draw[dashed,blue] (A) -- (E);
    \draw[dashed,blue] (A) -- (F);

    % 标记顶点
    \fill[black] (A) circle (1pt) node[above] {$A$};
    \fill[black] (B) circle (1pt) node[left] {$B$};
    \fill[black] (C) circle (1pt) node[below right] {$C$};
    \fill[black] (D) circle (1pt) node[right] {$D$};

    \fill[black] (A') circle (1pt) node[above] {$A{\,}'$};
    \fill[black] (B') circle (1pt) node[left] {$B{\,}'$};
    \fill[black] (C') circle (1pt) node[below right] {$C{\,}'$};
    \fill[black] (D') circle (1pt) node[right] {$D{\,}'$};

    % 标记点
    \fill[red] (E) circle (1.5pt) node[below] {$E$};
    \fill[red] (F) circle (1.5pt) node[right] {$F$};

    % 如果需要显示辅助线（例如虚线），可以根据实际需求添加
    % 注意：由于我们是三维绘图，可能需要调整视角或手动指定哪些线条应为虚线以表示遮挡关系

    \end{tikzpicture}
    \caption{1.1-练习5}
\end{figure}



\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{10.1.2. 空间向量的数量积运算}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[allowframebreaks]{11.1.2. }


%\section*{1. 1.2 空间向量的数量积运算}

由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个{\color{red}空间向量}的夹角和数量积就可以像{\color{red}平面向量}那样来定义。

\newpage

如图 1.1-10，已知两个非零向量 $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$，在空间任取一点 $O$，作 $\overrightarrow{OA} = \mathbf{a}$, $\overrightarrow{OB} = \mathbf{b}$，则 $\angle AOB$ 叫做向量 $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ 的夹角，记作 $\langle \mathbf{a}, \mathbf{b} \rangle$。

% \begin{figure}[h]
%     \centering
%     \includegraphics[width=0.5\textwidth]{image_path_10.png}
%     \caption{图 1.1-10}
% \end{figure}


\begin{figure}[h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=1.0, >=stealth]

        % 绘制向量a,b
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.2]}, thick, red] (-5,0) -- (-2,0) node[midway, below] {$a$};
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.2]}, thick, blue] (-6,0) -- (-5,2) node[midway, left] {$b$};


        % 定义点的位置
        \coordinate (O) at (0,0);
        \coordinate (A) at (3,0);
        \coordinate (B) at (1,2);
        
        % 绘制向量a和b
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.2]}, thick, red] (O) -- (A) node[midway,below] {$\mathbf{a}$};
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.2]}, thick, blue] (O) -- (B) node[midway,left] {$\mathbf{b}$};

        % 标记点
        \fill[pink] (O) circle (1.5pt) node[below left] {$O$};
        \fill[pink] (A) circle (1.5pt) node[below right] {$A$};
        \fill[pink] (B) circle (1.5pt) node[above right] {$B$};

    \end{tikzpicture}
    \caption{1.1-10-i}
    \label{fig:1.1-10-i}
\end{figure}

通常规定，$0 \leqslant \langle \mathbf{a}, \mathbf{b} \rangle \leqslant \pi$。这样，两个向量的夹角是唯一确定的，且 $\langle \mathbf{a}, \mathbf{b} \rangle = \langle \mathbf{b}, \mathbf{a} \rangle$。




如果 $\langle \mathbf{a}, \mathbf{b} \rangle = \frac{\pi}{2}$，那么向量 $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ 互相垂直，记作 $\mathbf{a} \perp \mathbf{b}$。


\begin{figure}[h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=1.0, >=stealth]

        % 绘制向量a,b
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.2]}, thick, red] (-5,0) -- (-2,0) node[midway, below] {$a$};
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.2]}, thick, blue] (-6,0) -- (-6,2) node[midway, left] {$b$};


        % 定义点的位置
        \coordinate (O) at (0,0);
        \coordinate (A) at (3,0);
        \coordinate (B) at (0,2);
        
        % 绘制向量a和b
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.2]}, thick, red] (O) -- (A) node[midway,below] {$\mathbf{a}$};
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.2]}, thick, blue] (O) -- (B) node[midway,left] {$\mathbf{b}$};

        % 标记点
        \fill[pink] (O) circle (1.5pt) node[below left] {$O$};
        \fill[pink] (A) circle (1.5pt) node[below right] {$A$};
        \fill[pink] (B) circle (1.5pt) node[above right] {$B$};

    \end{tikzpicture}
    \caption{1.1-10-ii}
    \label{fig:1.1-10-ii}
\end{figure}




\newpage

已知两个非零向量 $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$，则 $|\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \langle \mathbf{a}, \mathbf{b} \rangle$ 叫做 $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ 的 \textbf{数量积} (inner product)，记作 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$。
即

{\color{red}
\[ 
\boxed{
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \langle \mathbf{a}, \mathbf{b} \rangle. 
}
\]
}

特别地，零向量与任意向量的数量积为 0。


由向量的数量积定义，可以得到：
\[ \mathbf{a} \perp \mathbf{b} \Leftrightarrow \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0; \]
\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = |\mathbf{a}| |\mathbf{a}| \cos \langle \mathbf{a}, \mathbf{a} \rangle = |\mathbf{a}|^2. \]

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}$ 也记作 $\mathbf{a}^2$。


\newpage 

\textbf{思考:}
在平面向量的学习中，我们学习了向量的投影。

类似地，在空间，向量 $\mathbf{a}$ 向向量 $\mathbf{b}$ 的投影有什么意义？

向量 $\mathbf{a}$ 到直线 $\ell$ 的投影呢？向量 $\mathbf{a}$ 到平面 $\beta$ 的投影呢？

\newpage

如图 1.1-11-i，在空间，向量 $\mathbf{a}$ 向向量 $\mathbf{b}$ 投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面 $\alpha$ 内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量 $\mathbf{b}$ 共线的向量 $\mathbf{c}$，$\mathbf{c} = |\mathbf{a}| \cos \langle \mathbf{a}, \mathbf{b} \rangle \frac{\mathbf{b}}{|\mathbf{b}|}$，向量 $\mathbf{c}$ 称为向量 $\mathbf{a}$ 在向量 $\mathbf{b}$ 上的投影向量。

% \begin{figure}[h]
%     \centering
%     \includegraphics[width=0.5\textwidth]{image_path_11.png}
%     \caption{图 1.1-11}
% \end{figure}


\begin{figure}[h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=1.0, >=stealth]

        % 绘制向量a,b
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.2]}, thick, red] (-5,0) -- (-2,0) node[midway, below] {$b$};
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.2]}, thick, blue] (-6,0) -- (-5,2) node[midway, left] {$a$};


        % 定义点的位置
        \coordinate (O) at (0,0);
        \coordinate (A) at (1,2);
        \coordinate (B) at (3,0);
        \coordinate (C) at (1,0);
        
        % 绘制向量a,b和c
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.2]}, thick, blue] (O) -- (A) node[midway,left] {$\mathbf{a}$};
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.2]}, thick, red] (O) -- (B) node[midway,below] {$\mathbf{b}$};
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick, purple] (O) -- (C) node[midway,below] {$\mathbf{c}$};

        \draw[dashed, pink] (A) -- (C);

        % 标记点
        \fill[pink] (O) circle (1.5pt) node[below left] {$O$};
        \fill[pink] (A) circle (1.5pt) node[below right] {$A$};
        \fill[pink] (B) circle (1.5pt) node[above right] {$B$};
        \fill[pink] (C) circle (1.5pt) node[above right] {$C$};

    \end{tikzpicture}
    \caption{1.1-11-i}
    \label{fig:1.1-11-i}
\end{figure}


\newpage 

类似地，可以将向量 $\mathbf{a}$ 到直线 $\ell$ 投影（图 1.1-11-ii）。

在直线 $\ell$ 上任取一点$O$, 将向量 $\mathbf{a}$ 平移过来，得到 $\overrightarrow{OA}$. 然后投影。


\begin{figure}[h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=1.0, >=stealth]

        % 绘制向量a
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.2]}, thick, blue] (-6,0) -- (-5,2) node[midway, left] {$a$};

        % 绘制直线ell
        \draw[thick, red] (-5,0) -- (-2,0) node[right] {$\ell$};

        % 定义点的位置
        \coordinate (O) at (0,0);
        \coordinate (A) at (1,2);
        \coordinate (C) at (1,0);
        
        % 绘制向量a和c
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.2]}, thick, blue] (O) -- (A) node[midway,left] {$\mathbf{a}$};
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick, purple] (O) -- (C) node[midway,below] {$\mathbf{c}$};
        \draw[thick, red] (-1,0) -- (2,0) node[right] {$\ell$};

        \draw[dashed, pink] (A) -- (C);

        % 标记点
        \fill[pink] (O) circle (1.5pt) node[below left] {$O$};
        \fill[pink] (A) circle (1.5pt) node[below right] {$A$};
        \fill[pink] (C) circle (1.5pt) node[above right] {$C$};

    \end{tikzpicture}
    \caption{1.1-11-ii}
    \label{fig:1.1-11-ii}
\end{figure}



\newpage 

如图 1.1-11-ii，向量 $\mathbf{a}$ 到平面 $\beta$ 投影，就是分别由向量 $\mathbf{a}$ 的起点 $A$ 和终点 $B$ 作平面 $\beta$ 的垂线，垂足分别为 $A'$, $B'$，得到向量 $\overrightarrow{A'B'}$，向量 $\overrightarrow{A'B'}$ 称为向量 $\mathbf{a}$ 在平面 $\beta$ 上的投影向量。

这时，向量 $\mathbf{a}$，$\overrightarrow{A'B'}$ 的夹角就是向量 $\mathbf{a}$ 所在直线与平面 $\beta$ 所成的角。


% 设置观察角度
\tdplotsetmaincoords{75}{20}

\begin{figure}[h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=1.2, tdplot_main_coords]

        % 定义平面为Oxy
        \coordinate (E) at (-1, -1, 0); % 底面顶点A位于Oxy平面上
        \coordinate (F) at (5, -1, 0); % 底面顶点B位于Oxy平面上
        \coordinate (G) at (5, 6, 0); % 底面顶点C位于Oxy平面上
        \coordinate (H) at (-1, 6, 0); % 底面顶点D位于Oxy平面上
        
        % 绘制空间向量 AB
        \coordinate (A) at (1, 1, 2); % 顶点A位于
        \coordinate (B) at (3.5, 3.5, 3); % 顶点B位于
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick, blue] (A) -- (B) node[midway,above] {$\mathbf{a}$};


        % 绘制待投影的平面
        \draw[thick] (E) -- (F) -- (G) -- (H) -- cycle; % 使用 -- cycle 闭合路径

        % 绘制投影点
        \coordinate (A') at (1, 1, 0); % 顶点A的投影
        \coordinate (B') at (3.5, 3.5, 0); % 顶点B的投影
  
        \coordinate (B'') at (3.5, 3.5, 1); % 顶点B的平移

        % 绘制投影过程（虚线）
        \draw[dashed, pink] (A) -- (A');
        \draw[dashed, pink] (B) -- (B');
 
        % 绘制空间向量 AB 的平移
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick, blue] (A') -- (B'') node[midway,above] {$\mathbf{a}$};

        % 绘制投影向量
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick, purple] (A') -- (B') node[midway,below] {$\mathbf{c}$};

        % 标记顶点
        \fill[black] (A) circle (1pt) node[above] {$A$};
        \fill[black] (B) circle (1pt) node[above] {$B$};
 
        \fill[black] (A') circle (1pt) node[below] {$A{\,}'$}; % 调整位置为 below
        \fill[black] (B') circle (1pt) node[below] {$B{\,}'$}; % 调整位置为 below

        \node at (4.5,5,0) {$\beta$};        

        % 如果需要显示辅助线（例如虚线），可以根据实际需求添加
        % 注意：由于我们是三维绘图，可能需要调整视角或手动指定哪些线条应为虚线以表示遮挡关系

    \end{tikzpicture}
    \caption{1.1-11-iii}
    \label{fig:1.1-11-iii}
\end{figure}


\newpage 

空间向量的数量积满足如下的运算律：
\begin{itemize}
    \item $(\lambda \mathbf{a}) \cdot \mathbf{b} = \lambda (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})$, $\lambda \in \mathbb{R}$;
    \item $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}$ (交换律);
    \item $(\mathbf{a} + \mathbf{b}) \cdot \mathbf{c} = \mathbf{a} \cdot \mathbf{c} + \mathbf{b} \cdot \mathbf{c}$ (分配律).
\end{itemize}

\newpage

\textbf{思考:}

\begin{enumerate}\itemsep1em 
    \item 对于三个均不为 0 的数 $a$, $b$, $c$，若 $ab = ac$，则 $b = c$。对于向量 $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$, $\mathbf{c}$，由 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a} \cdot \mathbf{c}$，你能得到 $\mathbf{b} = \mathbf{c}$ 吗？如果不能，请举出反例。
    \item 对于三个均不为 0 的数 $a$, $b$, $c$，若 $ab = c$，则 $a = \frac{c}{b}$ (或 $b = \frac{c}{a}$)。对于向量 $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$，若 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = k$，能不能写成 $\mathbf{a} = \frac{k}{\mathbf{b}}$ (或 $\mathbf{b} = \frac{k}{\mathbf{a}}$) 的形式？
    \item 对于三个均不为 0 的数 $a$, $b$, $c$，有 $(ab)c = a(bc)$。对于向量 $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$, $\mathbf{c}$，$(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \mathbf{c} = \mathbf{a} (\mathbf{b} \cdot \mathbf{c})$ 成立吗？为什么？
\end{enumerate}


\newpage 

\textbf{例2.} 如图 1.1-12，在平行六面体 $ABCD-A{\,}'B{\,}'C{\,}'D{\,}'$ 中，$AB = 5$, $AD = 3$, $AA{\,}' = 7$, $\angle BAD = 60^\circ$, $\angle BAA{\,}' = \angle DAA{\,}' = 45^\circ$。求：

(1) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}$;

(2) $AC{\,}'$ 的长（精确到 0.1）.

% \begin{figure}[h]
%     \centering
%     \includegraphics[width=0.5\textwidth]{image_path_12.png}
%     \caption{图 1.1-12}
% \end{figure}



% 设置观察角度，第一个参数是绕x轴旋转的角度，第二个是绕z轴旋转的角度
\tdplotsetmaincoords{60}{0} 

\begin{figure}[h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=1.0, >=stealth, tdplot_main_coords]

        % 定义坐标系和视角
        \begin{scope}[canvas is xy plane at z=0]
            % 绘制底面平行四边形 ABCD
            \coordinate (A) at (0,0);
            \coordinate (B) at (5,0);
            \coordinate (C) at (6.5,2.6);
            \coordinate (D) at (1.5,2.6);
            
            \draw[thick] (A) -- (B) -- (C);
            \draw[dashed] (C) -- (D) -- (A); 
            % \fill[blue!20, opacity=0.5] (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
            
            % 标记点
            \fill[blue] (A) circle (1.5pt) node[below right] {$A$};
            \fill[blue] (B) circle (1.5pt) node[below right] {$B$};
            \fill[blue] (C) circle (1.5pt) node[below right] {$C$};
            \fill[blue] (D) circle (1.5pt) node[below right] {$D$};

        \end{scope}

        % 绘制上面平行四边形 A'B'C'D'
        \begin{scope}[canvas is xy plane at z=3]
            \coordinate (A') at (2,1);
            \coordinate (B') at (7,1);
            \coordinate (C') at (8.5,3.6);
            \coordinate (D') at (3.5,3.6);
            
            \draw[thick] (A') -- (B') -- (C') -- (D') -- cycle;
            % \fill[pink!20, opacity=0.5] (A') -- (B') -- (C') -- (D') -- cycle;
            
            % 标记点
            \fill[blue] (A') circle (1.5pt) node[above right] {$A{\,}'$};
            \fill[blue] (B') circle (1.5pt) node[above right] {$B{\,}'$};
            \fill[blue] (C') circle (1.5pt) node[above right] {$C{\,}'$};
            \fill[blue] (D') circle (1.5pt) node[above right] {$D{\,}'$};
        \end{scope}

        % 绘制长方体的竖棱
        \draw[thick] (A) -- (A');
        \draw[thick] (B) -- (B');
        \draw[thick] (C) -- (C');
        \draw[dashed] (D) -- (D');

        % 一条对角线
        \draw[dashed,pink] (A) -- (C');

    \end{tikzpicture}
    \caption{1.1-12}
    \label{fig:1.1-12}
\end{figure}



解：(1) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = |\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AD}| \cos \langle \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD} \rangle$
\[ = 5 \times 3 \times \cos 60^\circ = 7.5; \]


\newpage

(2) $|\overrightarrow{AC'}|^2 = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'})^2$
\[ = |\overrightarrow{AB}|^2 + |\overrightarrow{AD}|^2 + |\overrightarrow{AA'}|^2 + 2(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AA'}) \]
\[ = 5^2 + 3^2 + 7^2 + 2(5 \times 3 \times \cos 60^\circ + 5 \times 7 \times \cos 45^\circ + 3 \times 7 \times \cos 45^\circ) \]
\[ = 98 + 56\sqrt{2}, \]
所以 $AC' \approx 13.3$。

由于空间向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，空间图形的许多性质可以由向量的线性运算及数量积运算表示出来，因此，立体几何中的许多问题可以用向量运算的方法加以解决。


\newpage 

\textbf{例3.} 如图 1.1-13，$m$, $n$ 是平面 $\alpha$ 内的两条相交直线。
如果 $\ell \perp m$, $\ell \perp n$，求证：$\ell \perp \alpha$。

% \begin{figure}[h]
%     \centering
%     \includegraphics[width=0.5\textwidth]{image_path_13.png}
%     \caption{图 1.1-13}
% \end{figure}

\begin{figure}[h]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1.2]

    % 定义平面的顶点
    \coordinate (A) at (0, 0);
    \coordinate (B) at (4, 0);
    \coordinate (C) at (5, 2);
    \coordinate (D) at (1, 2);

    % 定义垂直线的顶点
    \coordinate (O) at (2, 1); % 平面内的点
    \coordinate (L) at (2, 3); % 垂直线的顶端

    % 绘制平面
    \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
    
    % 绘制垂直线
    \draw[thick] (O) -- (L) node[right] {$\ell$};

    % 标记平面
    \node at (0.5, 0.3) {$\alpha$};

    % 绘制平面内的线段
    \draw[thick] (1, 1) -- (3, 1) node[right] {$m$};
    \draw[thick] (1.5, 1.8) -- (2.5, 0.2) node[right] {$n$};
    \draw[dashed] (1.1, 0.5) -- (2.8, 1.5) node[right] {$g$};

\end{tikzpicture}
\caption{1.1-13}
\label{fig:1.1-13}

\end{figure}


\newpage 

\textbf{分析：} 要证明 $\ell \perp \alpha$，就是要证明 $\ell$ 垂直于 $\alpha$ 内的任意一条直线 $g$（直线与平面垂直的定义）。

如果我们能在 $g$ 和 $m$, $n$ 之间建立某种联系，并由 $\ell \perp m$, $\ell \perp n$，得到 $\ell \perp g$，那么就能解决此问题。

\newpage 

\textbf{证明：} 在平面 $\alpha$ 内作任意一条直线 $g$，分别在直线 $\ell$, $m$, $n$, $g$ 上取非零向量 $\mathbf{\ell}$, $\mathbf{m}$, $\mathbf{n}$, $\mathbf{g}$.

因为直线 $m$ 与 $n$ 相交，所以向量 $\mathbf{m}$, $\mathbf{n}$ 不平行。

由向量共面的充要条件可知，存在唯一的有序实数对 $(x, y)$，使
$ \mathbf{g} = x \mathbf{m} + y \mathbf{n}. $


将上式两边分别与向量 $\mathbf{\ell}$ 做数量积运算，得
$ \mathbf{\ell} \cdot \mathbf{g} = x \mathbf{\ell} \cdot \mathbf{m} + y \mathbf{l} \cdot \mathbf{n}. $

因为 $\mathbf{\ell} \cdot \mathbf{m} = 0$, $\mathbf{\ell} \cdot \mathbf{n} = 0$（为什么？），所以 $\mathbf{\ell} \cdot \mathbf{g} = 0$，所以 $\mathbf{\ell} \perp \mathbf{g}$.

这就证明了直线 $\ell$ 垂直于平面 $\alpha$ 内的任意一条直线，所以 $\ell \perp \alpha$.


%\subsection*{练习}

\newpage 

练习1. 如图，在正三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中，若 $AB = \sqrt{2} BB_1$，则 $AB_1$ 与 $BC_1$ 所成角的大小为（\quad）。
\begin{enumerate}
    \item (A) $60^\circ$
    \item (B) $90^\circ$
    \item (C) $105^\circ$
    \item (D) $75^\circ$
\end{enumerate}

% \begin{figure}[h]
%     \centering
%     \includegraphics[width=0.5\textwidth]{image_path_exercise.png}
%     \caption{(第1题)}
% \end{figure}

\begin{figure}[h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=0.9, >=stealth]

        % 定义点的位置
        \coordinate (A) at (0,0);
        \coordinate (B) at (4,-1.3);
        \coordinate (C) at (5,0);
        \coordinate (A1) at (0,3);
        \coordinate (B1) at (4,1.7);
        \coordinate (C1) at (5,3);

        % 绘制平行六面体的边
        \draw[thick] (A) -- (B) -- (C);
        \draw[thick] (A1) -- (B1) -- (C1) -- cycle;
        \draw[thick] (A) -- (A1);
        \draw[thick] (B) -- (B1);
        \draw[thick] (C) -- (C1);
        
        % 绘制虚线部分
        \draw[dashed] (A) -- (C);
 
        % 绘制两个向量
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick, blue] (A) -- (B1);
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick, red] (B) -- (C1);
 
        % 标记点
        \fill[black] (A) circle (1.5pt) node[below left] {$A$};
        \fill[black] (B) circle (1.5pt) node[below right] {$B$};
        \fill[black] (C) circle (1.5pt) node[below right] {$C$};
        \fill[black] (A1) circle (1.5pt) node[above left] {$A_1$};
        \fill[black] (B1) circle (1.5pt) node[above left] {$B_1$};
        \fill[black] (C1) circle (1.5pt) node[above right] {$C_1$};
 
    \end{tikzpicture}
    \caption{1.1.2-练习1}
    \label{fig:1.1.2-ex-1}
\end{figure}


\newpage 

练习2. 如图，正方体 $ABCD-A'B'C'D'$ 的棱长为 1，设 $\overrightarrow{AB} = \mathbf{a}$, $\overrightarrow{AD} = \mathbf{b}$, $\overrightarrow{AA'} = \mathbf{c}$，求：
\begin{enumerate}
    \item $\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c})$;
    \item $\mathbf{a} \cdot (\mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c})$;
    \item $(\mathbf{a} + \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c})$.
\end{enumerate}

% \begin{figure}[h]
%     \centering
%     \includegraphics[width=0.3\textwidth]{image_path_2.png}
%     \caption{(第2题)}
% \end{figure}


% 设置观察角度，第一个参数是绕x轴旋转的角度，第二个是绕z轴旋转的角度
\tdplotsetmaincoords{60}{60} 

\begin{figure}[h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=1.3, >=stealth, tdplot_main_coords]

        % 定义坐标系和视角
        \begin{scope}[canvas is xy plane at z=0]
            % 绘制底面平行四边形 ABCD
            \coordinate (A) at (0,0);
            \coordinate (B) at (2,0);
            \coordinate (C) at (2,2);
            \coordinate (D) at (0,2);
            
            \draw[thick] (A) -- (B) -- (C);
            \draw[dashed] (C) -- (D) -- (A); 
            % \fill[blue!20, opacity=0.5] (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
            
            % 标记点
            \fill[blue] (A) circle (1.5pt) node[below right] {$A$};
            \fill[blue] (B) circle (1.5pt) node[below right] {$B$};
            \fill[blue] (C) circle (1.5pt) node[below right] {$C$};
            \fill[blue] (D) circle (1.5pt) node[below right] {$D$};

        \end{scope}

        % 绘制上面平行四边形 A'B'C'D'
        \begin{scope}[canvas is xy plane at z=2]
            \coordinate (A') at (0,0);
            \coordinate (B') at (2,0);
            \coordinate (C') at (2,2);
            \coordinate (D') at (0,2);
            
            \draw[thick] (A') -- (B') -- (C') -- (D') -- cycle;
            % \fill[pink!20, opacity=0.5] (A') -- (B') -- (C') -- (D') -- cycle;
            
            % 标记点
            \fill[blue] (A') circle (1.5pt) node[above right] {$A{\,}'$};
            \fill[blue] (B') circle (1.5pt) node[above right] {$B{\,}'$};
            \fill[blue] (C') circle (1.5pt) node[above right] {$C{\,}'$};
            \fill[blue] (D') circle (1.5pt) node[above right] {$D{\,}'$};
        \end{scope}

        % 绘制长方体的竖棱
        \draw[thick] (A) -- (A');
        \draw[thick] (B) -- (B');
        \draw[thick] (C) -- (C');
        \draw[dashed] (D) -- (D');

       % 绘制三个向量
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick, blue] (A) -- (B) node[midway,below] {$a$};
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, dashed, red] (A) -- (D) node[midway,right] {$b$};
        \draw[->, -{Stealth[scale=1.5]}, thick, red] (A) -- (A')node[midway,left] {$c$};
 
    \end{tikzpicture}
    \caption{1.1-2-练习2}
    \label{fig:1.1-2-ex2}
\end{figure}


\newpage 

练习3. 如图，在平行六面体 $ABCD-A'B'C'D'$ 中，$AB = 4$, $AD = 3$, $AA' = 5$, $\angle BAD = 90^\circ$, $\angle BAA' = \angle DAA' = 60^\circ$。求：
\begin{enumerate}
    \item $\overrightarrow{AA'} \cdot \overrightarrow{AB}$;
    \item $A'B'$ 的长；
    \item $AC'$ 的长。
\end{enumerate}


% \begin{figure}[h]
%     \centering
%     \includegraphics[width=0.3\textwidth]{image_path_3.png}
%     \caption{(第3题)}
% \end{figure}


% 设置观察角度，第一个参数是绕x轴旋转的角度，第二个是绕z轴旋转的角度
\tdplotsetmaincoords{70}{60} 

\begin{figure}[h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=1.0, >=stealth, tdplot_main_coords]

        % 定义坐标系和视角
        \begin{scope}[canvas is xy plane at z=0]
            % 绘制底面平行四边形 ABCD
            \coordinate (A) at (0,0);
            \coordinate (B) at (4,0);
            \coordinate (C) at (4,3);
            \coordinate (D) at (0,3);
            
            \draw[thick] (A) -- (B) -- (C);
            \draw[dashed] (C) -- (D) -- (A); 
            % \fill[blue!20, opacity=0.5] (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
            
            % 标记点
            \fill[blue] (A) circle (1.5pt) node[below right] {$A$};
            \fill[blue] (B) circle (1.5pt) node[below right] {$B$};
            \fill[blue] (C) circle (1.5pt) node[below right] {$C$};
            \fill[blue] (D) circle (1.5pt) node[below right] {$D$};

        \end{scope}

        % 绘制上面平行四边形 A'B'C'D'
        \begin{scope}[canvas is xy plane at z=3]
            \coordinate (A') at (1,1);
            \coordinate (B') at (5,1);
            \coordinate (C') at (5,4);
            \coordinate (D') at (1,4);
            
            \draw[thick] (A') -- (B') -- (C') -- (D') -- cycle;
            % \fill[pink!20, opacity=0.5] (A') -- (B') -- (C') -- (D') -- cycle;
            
            % 标记点
            \fill[blue] (A') circle (1.5pt) node[above right] {$A{\,}'$};
            \fill[blue] (B') circle (1.5pt) node[above right] {$B{\,}'$};
            \fill[blue] (C') circle (1.5pt) node[above right] {$C{\,}'$};
            \fill[blue] (D') circle (1.5pt) node[above right] {$D{\,}'$};
        \end{scope}

        % 绘制长方体的竖棱
        \draw[thick] (A) -- (A');
        \draw[thick] (B) -- (B');
        \draw[thick] (C) -- (C');
        \draw[dashed] (D) -- (D');

        % 两条对角线
        \draw[dashed,pink] (A) -- (C');
        \draw[dashed,pink] (A) -- (B');

    \end{tikzpicture}
    \caption{1.1-2-练习3}
    \label{fig:1.1-2-ex3}
\end{figure}


\newpage 

练习4. 如图，线段 $AB$, $BD$ 在平面 $\alpha$ 内，$BD \perp AB$, $AC \perp \alpha$，且 $AB = a$, $BD = b$, $AC = c$。求 $C$, $D$ 两点间的距离。

% \begin{figure}[h]
%     \centering
%     \includegraphics[width=0.3\textwidth]{image_path_4.png}
%     \caption{(第4题)}
% \end{figure}

\begin{figure}[h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=0.8]

    % 定义坐标
    \coordinate (A) at (0, 0);
    \coordinate (B) at (2, 0); % AB = a
    \coordinate (D) at (2.5, 0.75); % BD = b
    \coordinate (C) at (0, 3); % AC = c

    % 绘制平面内的线段
    \draw[thick, blue] (A) -- node[midway, below] {$a$} (B);
    \draw[thick, blue] (B) -- node[midway, right] {$b$} (D);

    % 绘制垂直于平面的线段
    \draw[thick, blue] (A) -- node[midway, left] {$c$} (C);
    \draw[thick, blue] (C) -- (D);

    % 绘制平面边界
    \draw[thick] (-3,-1) -- (3, -1) -- (5, 2) -- (-1, 2) -- cycle;

    % 标记点
    \fill (A) circle (1pt) node[below left] {$A$};
    \fill (B) circle (1pt) node[below right] {$B$};
    \fill (D) circle (1pt) node[above right] {$D$};
    \fill[blue] (C) circle (1pt) node[above left] {$C$};

    % 标记平面
    \node at (-2, -0.5) {$\alpha$};

    \end{tikzpicture}
    \caption{1.1-2-练习4}
    \label{fig:1.1-2-ex4}
\end{figure}



%\section*{复习巩固}

\newpage 

复习巩固1. 如图，在长方体 $ABCD-A'B'C'D'$ 中，$E$, $F$ 分别为棱 $AA'$, $AB$ 的中点。
\begin{enumerate}
    \item 写出与向量 $\overrightarrow{BC}$ 相等的向量；
    \item 写出与向量 $\overrightarrow{BC}$ 相反的向量；
    \item 写出与向量 $\overrightarrow{EF}$ 平行的向量。
\end{enumerate}

% \begin{figure}[h]
%     \centering
%     \includegraphics[width=0.5\textwidth]{image_path_1.png}
%     \caption{(第1题)}
% \end{figure}


\newpage 

复习巩固2. 如图，已知平行六面体 $ABCD-A'B'C'D'$，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量：
\begin{enumerate}
    \item $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$;
    \item $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CC'}$;
    \item $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow{CC'}$;
    \item $\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'})$.
\end{enumerate}

% \begin{figure}[h]
%     \centering
%     \includegraphics[width=0.5\textwidth]{image_path_2.png}
%     \caption{(第2题)}
% \end{figure}


\newpage 

复习巩固3. 证明：如果向量 $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ 共线，那么向量 $2\mathbf{a} + \mathbf{b}$ 与 $\mathbf{a}$ 共线。


\newpage 

复习巩固4. 如图，已知四面体 $ABCD$ 的所有棱长都等于 $a$, $E$, $F$, $G$ 分别是棱 $AB$, $AD$, $DC$ 的中点。求：
\begin{enumerate}
    \item $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$;
    \item $\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{DB}$;
    \item $\overrightarrow{GF} \cdot \overrightarrow{AC}$;
    \item $\overrightarrow{EF} \cdot \overrightarrow{BC}$;
    \item $\overrightarrow{FG} \cdot \overrightarrow{BA}$;
    \item $\overrightarrow{GE} \cdot \overrightarrow{GF}$.
\end{enumerate}

% \begin{figure}[h]
%     \centering
%     \includegraphics[width=0.5\textwidth]{image_path_4.png}
%     \caption{(第4题)}
% \end{figure}



%\section*{综合运用}

\newpage 

综合运用5. 如图，在平行六面体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，$AC$ 与 $BD$ 的交点为 $M$。设 $\overrightarrow{A_1B_1} = \mathbf{a}$, $\overrightarrow{A_1D_1} = \mathbf{b}$, $\overrightarrow{A_1A} = \mathbf{c}$，则下列向量中与 $\overrightarrow{B_1M}$ 相等的向量是（）。
\begin{enumerate}
    \item (A) $-\frac{1}{2}\mathbf{a} + \frac{1}{2}\mathbf{b} + \mathbf{c}$
    \item (B) $\frac{1}{2}\mathbf{a} + \frac{1}{2}\mathbf{b} + \mathbf{c}$
    \item (C) $\frac{1}{2}\mathbf{a} - \frac{1}{2}\mathbf{b} + \mathbf{c}$
    \item (D) $-\frac{1}{2}\mathbf{a} - \frac{1}{2}\mathbf{b} + \mathbf{c}$
\end{enumerate}

% \begin{figure}[h]
%     \centering
%     \includegraphics[width=0.3\textwidth]{image_path_5.png}
%     \caption{(第5题)}
% \end{figure}


\newpage 

综合运用6. 如图，已知 $E$, $F$, $G$, $H$ 分别为四面体 $ABCD$ 的棱 $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ 的中点，求证：$E$, $F$, $G$, $H$ 四点共面。

% \begin{figure}[h]
%     \centering
%     \includegraphics[width=0.3\textwidth]{image_path_6.png}
%     \caption{(第6题)}
% \end{figure}

\newpage 

综合运用7. 如图，正方体 $ABCD-A'B'C'D'$ 的棱长为 $a$。
\begin{enumerate}
    \item 求 $A'B$ 和 $B'C'$ 的夹角；
    \item 求证：$A'B \perp AC'$。
\end{enumerate}

% \begin{figure}[h]
%     \centering
%     \includegraphics[width=0.3\textwidth]{image_path_7.png}
%     \caption{(第7题)}
% \end{figure}


\newpage 

综合运用8. 用向量方法证明：在平面内的一条直线，如果与这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直（三垂线定理）。


%\section*{拓广探索}

\newpage 

拓广探索9. 如图，在四面体 $OABC$ 中，$OA \perp BC$, $OB \perp AC$。求证：$OC \perp AB$。

% \begin{figure}[h]
%     \centering
%     \includegraphics[width=0.3\textwidth]{image_path_9.png}
%     \caption{(第9题)}
% \end{figure}

\newpage 

拓广探索10. 如图，在四面体 $OABC$ 中，$OA = OB$, $CA = CB$, $E$, $F$, $G$, $H$ 分别是 $OA$, $OB$, $BC$, $CA$ 的中点，求证：四边形 $EFGH$ 是矩形。

% \begin{figure}[h]
%     \centering
%     \includegraphics[width=0.3\textwidth]{image_path_10.png}
%     \caption{(第10题)}
% \end{figure}


\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\end{document}



